Property 1.4

I: Incentro ;  O: Circuncentro
r: Inradio ;  R: Circunradio
OM, ON y OQ : Mediatrices
ON' = ha ; OQ' = hb ; OM' = hc

• QUEREMOS HALLAR EL VALOR DE  ha+hb+hc

• Se traza NR (R en proyección de AC) tal que <NRA = 90
   Se traza OR' // AC

• <M'OA = <R'NO = <C  y  OA = ON = R
  =>  ∆M'OA = ∆R'NO ->  NR' = hc  y  OR' = c/2

• ∆NRA ~ ∆NCN' ( ya que <NCN' = <NAC = <A/2 )
  => NR/NN' = AR/CN' -> (NR'+R'R)/(ON-ON') = (AQ'+Q'R)/CN'

        (hc+hb)/(R-ha) = (b+c)/a

• a(hb+hc) = (b+c)(R-ha) ..... [1] ; Similarmente:

        b(ha+hc) = (a+c)(R-hb) ..... [2]
        c(ha+hb) = (a+b)(R-hc) ..... [3]

• Sumando [1], [2], [3] y simplificando

        a(hb+hc)+b(ha+hc)+c(ha+hb) = (a+b+c)R

• Agregando a ambos lados: aha+bhb+chc = 2(Area ∆ABC)

        (a+b+c)(ha+hb+hc) = (a+b+c)R + 2[(a+b+c)/2]r

• Finalmente:    ha+hb+hc = R+r

Property 1.3

I : Incentro ; r : Inradio.
I': Centro del excírculo (opuesto a A) y de radio r'.

En lo sucesivo, los lados del triángulo serán: 
a = BC, b = AC, y c = AB. 
Usamos p = (a+b+c)/2 para el semiperímetro.

1. Usando el hecho de que dos tangentes a un círculo son 
   congruentes, tenemos que:  AE = AG, CG = CF y BE = BF. 

   Así, por ejemplo: AE+EB+CG = c+CG = p  -> CG = p-c

   De igual modo: CF = p-c ; AG = AE = p-a ; BE = BF = p-b

2. Nuevamente del hecho de que dos tangentes a un círculo 
   son congruentes, vemos que: AE' = AG', BE' = BJ y CG' = CJ. 

   Esto nos da: AG'+AE' = AB+BJ+CJ+AC = 2p

   Y podemos concluir que AG' = AE' = p. 

   Y, por ejemplo  BE' = p-c.

3. I e I' se encuentran en la bisectriz interior de <A.

   I' se encuentra también en la bisectriz exterior de <B y <C. 
   Estas bisectrices exteriores son perpendiculares a sus respectivas 
   bisectrices interiores. Así BI y BI' son perpendiculares; CI y CI' 
   son perpendiculares también.

4. Del paso 3 concluímos que:  ∆EBI~∆E'I'B  ->  E'I'/E'B = EB/EI

   =>  r'/(p-c) = (p-b)/r  ->  r*r' = (p-b)(p-c)  .................[1]

5. También vemos que: ∆AIG~∆AI'G'  ->  IG/I'G' = AG/AG'

   =>  r/r' = (p-a)/p  .................[2]

6. Multiplicando [1] y [2] obtenemos:

     r^2 = (p-a)(p-b)(p-c)/p  ; así:

     r = sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]  .................[3]

7. No es difícil ver que:  Area ∆ABC = p*r

     Teorema de Herón:   Area ∆ABC = sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]

http://mathforum.org/dr.math/

Property 1.2

Property 1.1